Matrice stochastique sur \(E\)
Famille \((Q(x,y))_{x,y\in E}\) de réels dans \([0,1]\) telle que : $$\forall x\in E,\quad\sum_{y\in E}Q(x,y)=1$$
- cela correspond à une Probabilité de transition sur \(E\) : si \(\nu(x,A)=\sum_{y\in A}Q(x,y)\), alors \(\nu(x,\cdot)\) est une Mesure de probabilité
- inversement, si \(\nu(\cdot,\cdot)\) est une Probabilité de transition de \(E\) dans \(E\), alors \(Q(x,y)=\) \(\nu(x,\{y\})\) est une matrice stochastique
- on pose \(Q_n=\) \(Q^n\), en procédant par récurrence :
- \(Q_0(x,y)=\) \(\Bbb 1_{\{x=y\} }\)
- \(Q_{n+1}(x,y)=\) \(\sum_{z\in E}Q_n(x,z)Q(z,y)\)
- on a alors \(Q_{n+m}(x,y)=\) \(\sum_{x\in E}Q_n(x,z)Q_m(z,y)\) et \(Q_n(x,y)=\) \(\sum_{x_1,\dots,x_{n-1}\in E}Q(x,x_1)Q(x_1,x_2)\dots Q(x_{n-1},y)\)
- notations :
- si \(f:E\to{\Bbb R}_+\), \(Qf\) \(:x\mapsto\sum_{y\in E}Q(x,y)f(y)\)
- si \(\nu\) est une mesure sur \(E\), \(\nu Q\) est la mesure définie par \(\nu Q(y)=\sum_{x\in E}\nu(x)Q(x,y)\)
